Matematik

1. – 9. klasse

Slutmål

At eleverne oplever, forstår samt får et fagligt funderet indblik i, at matematik er et sprog, som er skabt i menneskets forsøg på:

At forstå og beskrive universets fysiske struktur.
At skabe samfundsdannelser, herunder at finde matematiske modeller til løsning af en række forskellige problemstillinger og herigennem forbedre menneskets velfærd.

At eleverne får kendskab til følgende emner indenfor matematikkens trinvise historiske udvikling:

Talsystemets dannelse i oldtiden.
Den konkrete dannelse af regning og geometri i flodkulturerne (Egypten og Babylon) med baggrund i land- og himmelmåling.
Den abstrakte matematiks dannelse hos grækerne som et beskrivelsesmiddel af universets naturlove (kosmos)

At eleverne bliver i stand til:

At analysere en problemstilling – herunder en progression f. eks. i form af statistisk data og sandsynligheder.
At finde et hensigtsmæssigt løsningsforslag til ovennævnte problemstilling i form af et algebraisk udtryk (vha. tal, bogstavudtryk – herunder ligninger og relationer), en geometrisk konstruktion og udregning, en grafisk afbildning m.v.
At kunne foretage den fornødne udregning af ovennævnte løsningsforslag – såvel ved brug af færdighedsregning som lommeregner eller pc.
At kunne begrunde hele ovennævnte proces sprogligt og foretage en analyse af resultatet i forhold til virkeligheden.
At eleverne bliver i stand til at kunne læse og forstå matematisk litteratur indenfor de centrale kundskabsområder og kunne kommunikere med andre herom, herunder tolke og fortolke – og relatere litteraturen til den virkelige fysiske verden.

Første Delmål: Efter 2. klasse

Sprog og billeddannelse

Hovedmålet på dette trin er, at eleverne udvider deres sprog ved at udvikle de første grundliggende matematiske begreber med udgangspunkt i deres forskellige hidtidige tal- og mængdeforståelse samt sætte ord herpå. Dette søges opnået ved:

At eleverne opbygger gode modelbilleder og knytter de rette ord til disse. Det drejer sig om billeder af talmængder (de naturlige tal) og titalssystemet (antalsforståelse opbygget udfra enere, tiere og hundrede), og positionssystemet opbygget efter regnebrættet samt om addition og subtraktion. Der lægges stor vægt på samtale om de matematiske emner for at opbygge og styrke det matematiske sprog.
At eleverne opbygger billeder af handlingerne: Addition og subtraktion.
At elever kan skelne mellem mængders indbyrdes størrelsesforhold.
At eleverne kommer til at kunne relatere billederne (symbolerne) til konkrete anskuelsesmodeller og handlinger i den fysiske verden, som de kender fra deres hverdag. Ud fra små regnehistorier får eleverne øvelse i at finde det tilhørende regnenavn indenfor addition og subtraktion.
At eleverne forstår tier-overgang bl.a ved hjælp af “mente“ og “veksle” og den begyndende multiplikation som addition.
At eleverne indføres i målebegrebet igennem konkrete handlinger (længde, areal, vægt og penge).
At eleverne lærer om enkle geometriske figurer og mønstre samt selv arbejder med at kunne tegne dem.

Udviklingen i undervisningen i 1. klasse til 2. klasse.

Matematiksproget med baggrund i elevernes selvdannede og tilhørende modelbilleder, der associerer til konkrete fysiske mængder og handlinger, er en grundlæggende indlæring, som der arbejdes grundigt med igennem 1.- 2. klasse.

Der arbejdes grundigt med at eleverne danner sig billeder af regneoperationerne og her igennem opbygger en konkret forståelse af regneoperationerne som handlinger med mængder. Ligeledes arbejdes der med at give eleverne en grundlæggende størrelsesforståelse. I forbindelse med ovennævnte indlæring arbejdes der med regne- og tegnehistorier, således at eleverne får skabt en sikker forbindelse mellem sprog, billede og regneoperation.

Denne grundliggende sprog og billeddannelse af mængder og handlinger sikrer, at eleverne derefter med forståelse kan udvide deres matematiske begrebsverden med multiplikation, division, brøker, måling og decimaltal m.v. samt at eleverne bliver i stand til at kunne finde et passende regneudtryk til løsning af forskellige konkrete problemstillinger, og sluttelig nå frem til et resultat samt vurdere rigtigheden heraf.

Andet delmål: Efter 6. klasse

Den logisk- konkrete erfaringsfase

Hovedmålet på mellemtrinnet er, at eleverne videreudvikler og opbygger deres matematiske begrebsverden og sprog igennem en logisk forståelse på et detaljeret og konkret grundlag, med udgangspunkt i de personligt opbyggede modelbilleder fra begynderundervisningen. Dette søges opnået ved:

At der fortrinsvis arbejdes på et virkelighedsnært, konkret grundlag, således at eleverne gradvist danner sig erfaring og viden indenfor de enkelte emneområder – gerne gennem eksperimentering.
At eleverne opnår en konsolidering og logisk forståelse af de grundliggende regnefærdigheder indenfor de fire regningsarter herunder en udbygning af multiplikation og division med udgangspunkt i konkrete handlinger.
At eleverne danner billeder og udbygger sproget således, at de kan oversætte regneudtryk til regnehistorier og omvendt.

At eleverne danner et modelbillede af brøkbegrebet og herigennem opnår en logisk forståelse af brøker med baggrund i delehandlinger ud fra konkrete figurer og mængder samt opnår øvelse i at kunne anvende de fire regningsarter indenfor brøker.
At eleverne lærer brugen af decimaltal med baggrund i forståelsen af positionssystemet samt i brøkbegrebet udfra tiendedele, hundrededele osv.
At eleverne opbygger et modelbillede af procentbegrebet med baggrund i brøkbegrebet og at de lærer at sammenholde brøker med procenter og decimaltal samt lærer at udføre beregninger, hvor brøkbegrebet indgår.
At eleverne opnår indsigt i og forståelse af forholdsregning både algebraisk og geometrisk.
At eleverne lærer at regne med negative tal konkretiseret i f.eks udfra tallinjen.
At eleverne opnår overblik indenfor det rationelle tallegeme.
At eleverne lærer at arbejde med lommeregner og computer, bl.a til beregning af rødder og potenser.
At eleverne udbygger deres viden om arealer og indføres i rumfangsbegrebet.
At eleverne lærer at arbejde med – og tolke diagrammer og enkle grafer i koordinatsystemet.
At eleverne lærer at løse enkle ligninger og uligheder ved ”prøve og fejle-metoden” og forstå ligningerne som løsningsmodeller for forskellige problemstillinger.
At eleverne foretager eksperimenter, hvori tilfældighed og chance indgår.
At eleverne oplæres gradvist i at kunne finde de rette regneudtryk til løsning af problemformulerede tekstopgaver, og derigennem opnår en god pædagogisk opstilling og orden.
At eleverne indenfor geometrien lærer, gerne igennem en eksperimenterende tegning af mønstre, om spejling og ligedannethed og at anvende passerne eksperimenterende sammen med tegnetrekant til geometriske konstruktioner og herigennem lære om de almindelige figurer og om vinkler og gradmåling. Passeren bruges også som et kunstnerisk redskab.
At eleverne afprøver, hvordan geometrien kan anvendes som løsningmodel og som beskrivelse.
Måling – forståelse af metersystemet.
At indlæringen relateres til sin historiske tilblivelse i ægyptisk landmåling og anlægsarbejde (4.-5.kl) og den babylonske astronomi (himmelmåling) (4.kl.-5.kl.) samt den græske geometri (Ioniske skole) (6.kl.) Se f.eks. Aksel Bording: “Et historisk-poetisk natursyn” eller Paul la Cour: ”Historisk matematik”).
At indlæringen mest muligt og så meget tiden tillader foregår igennem erfaringsdannelse, forsøg og logisk forståelse, således at den enkelte elev bedre kan identificere sig med sin voksende viden. I så fald vil de selv genopleve fagets historiske tilblivelse.

Udviklingen i undervisningen 3. klasse til 6. klasse

Det er vigtigt, at eleverne på mellemtrinnet opnår en sikker rutine i at operere i de anførte emner og discipliner, idet den viden og de færdigheder, de herved har opnået, er nødvendig som grundlag for at kunne foretage den abstraktion, som er et væsentligt mål på tredje trin.

Det grundlæggende arbejde med brøker, decimaltal og procent samt deres indbyrdes forhold er af stor vigtighed. Det er ligeledes vigtigt, at undervisningen hele tiden kan relateres til anskuelige, konkrete og virkelighedsnære forhold, således at den enkelte elev igennem egen billeddannelse opbygger en logisk forståelse af sammenhængen i regneprocedurerne (f. eks. ved regneoperationerne med brøker) og således, at indlæringen ikke bliver teoretisk.

Der skal specielt i 6. klasse arbejdes grundigt med, at eleverne får en god forståelse af forholdsregning både indenfor algebra, geometri og måling.

Der arbejdes på alle klassetrin med at forbinde et tekststykke (en problemstilling) til en løsningsmodel i form af et regnenavn (et algebraisk udtryk).

Det er vigtigt for elevernes forståelse af geometrien, at de selv eksperimenterer med at finde løsninger ved brug af passer og tegnetrekant.

Der arbejdes med, at eleverne danner sammenhængende billeder af målesystemet, der udspringer af en forståelse af metersystemet, gerne i forbindelse med arbejdet med decimaltal.

Ved at bygge undervisningen op igennem udvikling af den logiske erkendelse på et konkret, fysisk grundlag skabes der baggrund og mulighed for, at eleverne på tredje trin ved hjælp af opøvelsen af abstraktionsevnen, kan opbygge en begyndende forståelse af den naturvidenskabelig erkendelsesmetode og herigennem få systematiseret deres viden i overordnede sammenhænge. Skal dette lykkes, er det meget væsentligt, at undervisningen på mellemtrinnet opbygges emnevist, detaljeret og trin for trin.

Tredje delmål: Efter 9. klasse.

Den abstrakt- logiske fase, bredere forståelse og sammenhæng

Hovedmålet på sluttrinnet er, at eleverne opnår forståelse af og øvelse i at kunne sammenfatte og abstrahere konkrete regneudtryk til overordnede symboler i form af algebraiske og geometriske udtryk – om omvendt. Det søges opnået ved, at eleverne:

Ud fra en faglig indsigt får forståelse for matematikkens betydning som beskrivelsesmiddel af universets strukturer og herigennem forstå matematikkens betydning for andre naturfag.
Kan tolke og sprogligt forklare matematisk litteratur.
Får faglig indsigt og forståelse af matematikkens udvikling i hovedtrin og kendskab til de bagvedliggende kræfter, som motiverede til dannelsen af matematiksproget.
Får en begyndende indsigt i matematikkens mere abstrakte verden med henblik på forståelsen af variable og symboler i formler og regneregler med bogstavudtryk samt logisk kan følge enkle bevisførelser skridt for skridt.
Opnår sikkerhed i at kunne tolke en problemstilling, finde brugbare løsningsmodeller indenfor både algebra og geometri og løser opgaven med baggrund i en hensigtsmæssig logik og med god orden og opstilling samt sprogligt kan argumentere for fremgangsmåden.
Såvel grafisk som algebraisk kan løse ligninger og uligheder af første grad samt to ligninger med to ubekendte samt forklare, hvad de gør.
Kan tegne lineære og omvendt proportionale funktioner i koordinatsystemet samt tegne en afbildning af 2.grads ligningen.
Kan udføre geometriske konstruktioner så som forskellige figurer, ligedannethed, symmetri og parallelforskydning med passer og tegnetrekant på blankt papir og i koordinatsystemet; alt med udgangspunkt i analyser og på baggrund af givne oplysninger.
Kan anvende formler for rumfang, areal og omkreds.
Forstår tallenes organisering i grupper indenfor det reelle tallegeme.
Opnår sikkerhed i brøk- og procentregning, i forholds- og rentesregning, i købmandsregning og i statistik og sandsynlighedsregning.
Kan anvende lommeregner og pc ved gennemførelse af ovennævnte beregninger samt pc til tegning og grafiske illustrationer.

Udviklingen i undervisningen i 7. klasse til 9. klasse

Der arbejdes i hele perioden på, at den konkrete viden, som den enkelte elev hidtil har opnået sættes ind i større og overordnede sammenhænge samtidig med at sikkerheden i færdighedsregning forbedres på alle områder.

Der arbejdes i stigende omfang med at opøve eleverne i at kunne analysere en problemstilling med henblik på at finde hensigtsmæssige strategier til løsningen.

Indenfor algebraen begynder eleverne i 7. klasse at lære at løse enkle ligninger af første grad ved brug af regneregler samt lære at reducere bogstavregningsopgaver. Der stræbes mod, at den enkelte elev igennem eksperimentering – prøve og fejlemetode – selv får mulighed for at nå frem til at kunne formulere diverse regneregler.

Der arbejdes gradvist på, at eleverne når til klar forståelse af matematikkens abstrakte symboler som repræsentanter for uendelig mange konkrete situationer – f.eks. at udtrykket a + b er en repræsentant og et abstrakt udtryk for alle additionsstykker, der igen er regnenavne for en uendelig mængde af konkrete situationer.

Indenfor geometri opøves eleverne gradvist til at kunne foretage mindre beviser vedrørende trekanter, parallelogrammer, trapezer m.v. – f. eks vedrørende areal- og omkredsformler samt vinkler, vinkelberegning og sider. Med hensyn til tegning og konstruktioner opøves elevernes evne til at kunne analysere.

I 9. klasse gennemgås talsystemets historiske tilblivelse samt Arkimedes bestemmelse af pi, samt eksempler på, hvordan en naturlov kan udtrykkes ved hjælp af det matematiske sprog. Eksempelvis Pythagoras´musikteori og Gallileis anden faldlov, Arkimedes vægtstangsregel, samt de almindelige formler til bestemmelse af areal omkreds og rumfang, rentesregning, vejlængde m.v.

Indenfor almindelig regning arbejdes der videre med statistik, kombinatorik og sandsynlighedsregning, køb og salg, rentesregning samt værdipapirer.